- ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI
1. Açıortay
|
Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir.
Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir.
|
 |
Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir.
AOB bir açı,
[OC açıortay
m(AOC) = m(COB)
|
AOC ve BOC eş
üçgenler olduğundan
|OA| = |OB|
|
 |
2. İç Açıortay Bağıntısı
|
ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC üçgenlerinin
[BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan
 |
olur .....(1) |
|
 |
| ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC üçgeninde
[AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir.
|
olur .....(2) |
|
 |
[AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den
 |
olur |
ABC üçgeninde [AN] açıortay olmak şartıyla
| Buradan |
 |
ve b.y=c.x eşitlikleri de elde edilir. |
|
 |
3. İç Açıortay Uzunluğu
|
ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay
uzunluğuna nA dersek
|
 |
4. Dış Açıortay Bağıntısı
ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır.
|
 |
5. Dış Açıortay Uzunluğu
|
ABC üçgeninde [AD] dış açıortayının uzunluğuna
n'A dersek
|
 |
6. İç açıortayla dış açıortay arasındaki açı
| m(DAE)=90°
|
 |
ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki açı için
2a + 2b = 180°
a + b = 90° dir.
- Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir.
P noktasının kenarlara uzaklığı eşittir. Merkezden indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur.
|
 |
- ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞNTILARI
1. Ağırlık Merkezi
Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler.Kenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.
|
ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının
kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi
denir.
|
 |
a. Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler.
|
ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların
orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise
|
 |
| b. Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir. |
 |
| c. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve
|AG| = 2|GD| olduğundan G noktası
ağırlık merkezidir.
|
 |
| d. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG|
olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.
|
 |
| e. ABC üçgeninde
|AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF|
eşitliğini sağlayan G noktası ABC
üçgeninin ağırlık merkezidir.
|
 |
2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.
|
ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay
|
 |
3. Kenarortayların Böldüğü Alanlar
|
a.Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler.
|
 |
| b.G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür. |
 |
| c. G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür. |
 |
| 4.ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse
|AK| = 3x
|KG| = x
|GD| = 2x eşitlikleri bulunur.
|
 |
K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır.
| a. ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde
şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur.
|
 |
| b.Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür. |
 |
5. Kenarortay Uzunluğu
|
ABC üçgeninde A köşesinden çizilen
kenarortayın uzunluğuna Va dersek
Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir.
|
 |
Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa
Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa
6. Dik Üçgende Kenarortaylar
|
A açısı 90° olan bir dik üçgende kenarortaylar arasında
|
 |
|
