derslercix - LiMiT ve SÜREKLiLiK

LiMiT ve SÜREKLiLiK

LİMİT ve SÜREKLİLİK

I. LİMİT

A. SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA

x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir.

x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir.

B. LİMİT KAVRAMI

Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım:

Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x₁, y₄) , B(x₂, y₃) , C(x₃, y₂) , D(x₄, y₁), ... noktalarını göz önüne alalım:

Bu noktaların apsisleri olan x₁, x₂, x₃, x₄, ... giderek a ya yaklaşırken, ordinatları

f(x₁) = y₄, f(x₂) = y₃, f(x₃) = y₂, f(x₄) = y₁, ... giderek b ye yaklaşır.

Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda,

f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve

şeklinde gösterilir.

Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan

E(x₈, y₅) , F(x₇, y₆) , G(x₆, y₇) , H(x₅, y₈) , ... noktalarını göz önüne alalım.

Bu noktaların apsisleri olan x₈, x₇ , x₆ , x₅ , ... giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x₈) = y₅ , f(x₇) = y_{6 ,}f(x₆) = y₇ , f(x₅) = y₈ , ... giderek d ye yaklaşır.

Bu durumu “x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.” şeklinde ifade edebiliriz.

Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve

biçiminde gösterilir.

Kural

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise,

biçiminde gösterilir. x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir.

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x = a da limiti yoktur.

C. UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT

f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir.

Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Buna göre,

Kural

D. LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

Özellik

f ve g , x = a da limitleri olan iki fonksiyon olsun.

Özellik

E. PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ

Özellik

F. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Özellik

f(x) = sgn [g(x)] olsun.

Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.

Söz gelimi, f(x) = sgn(x²) fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır ve 1 dir.

G. TAM DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Özellik

Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.

Söz gelimi, fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır.

H. NİN x = a DAKİ LİMİTİ

Özellik

I. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ

1. sinx in ve cosx in limiti

sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

2. tanx in limiti

tanx fonksiyonu olmak üzere,

koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

Sonuç

3. cotx in limiti

cotx fonksiyonu olmak üzere, koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

Sonuç

J. BELİRSİZLİK DURUMLARI

belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır. Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L’Hospital kuralıyla da hesaplanabilir.

Kural