derslercix - II. DERECEDEN DENKLEMLER (10)

II. DERECEDEN DENKLEMLER (10)

II. DERECEDEN DENKLEMLER

A. TANIM

a, b, c reel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax² + bx + c = 0

ifadesine x e göre düzenlenmiş ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan (varsa) x reel sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi (doğruluk kümesi), çözüm kümesini bulmak için yapılan işleme de denklem çözme denir.

B. DENKLEMİN ÇÖZÜMÜ

1. Çarpanlara Ayırma Yoluyla Denklem Çözme

İkinci dereceden denklemin çözüm kümesi, kolaylıkla görülebiliyorsa, çarpanlarına ayrılarak bulunur. Bunun için,

olmak üzere,

a × b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) olduğu göz önüne alınacaktır.

2. Formül Kullanarak Denklem Çözme

ax² + bx + c = 0 denkleminin sol tarafı kolayca çarpanlara ayrılamayabilir. Bu durumda, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin çözümü için genel bir yaklaşıma ihtiyaç vardır.

ax² + bx + c = 0 denkleminde,

D = b² – 4ac

ifadesine, denklemin diskiriminantı denir.

1) D > 0 ise denklemin farklı iki reel kökü vardır.

Bu kökler,

2) D = 0 ise denklemin eşit iki reel kökü vardır.

Bu kökler,

Denklemin bu köküne çift katlı kök ya da çakışık kök denir.

3) D < 0 ise denklemin reel kökü yoktur. Bu durumda denklemin karmaşık iki farklı kökü vardır.

C. İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEME DÖNÜŞEBİLEN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ

1. Polinomların Çarpımı Veya Bölümü Şeklindeki Denklemlerin Çözümü

2. Yardımcı Bilinmeyen Kullanılarak Çözülebilen Denklemlerin Çözümü

Verilen denklemde benzer ifadeler yeniden adlandırılarak denklem basitleştirilir. Örneğin

x⁴ – 10x² + 9 = 0 denkleminde x² = t,

2^2x – 6 × 2^x + 8 = 0 denkleminde 2^x = u,

(x² – 2x)² – (x² – 2x) – 30 = 0 denkleminde,

x² – 2x = k,

denkleminde adlandırılması yapılarak çözüme gidilir.

3. Köklü Denklemlerin Çözümü

Bir denklemde bilinmeyen, kök içinde bulunuyorsa bu denkleme köklü denklem denir.

Denklemde köklü terim bir tane ise, köklü terim eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır. Sonra kökün derecesine göre kuvvet alınır. Gerekli işlemler yapılarak denklem çözülür. Bulunan köklerden köklü terimi tanımsız yapmayanlar alınır.

4. Mutlak Değer İçeren Denklemler

Kök içini sıfır yapan değerlere göre, inceleme yapılarak çözüme gidilir. Örneğin;

|x – 1| + 2x = 5 denkleminde (x £ 1 ve x >1) alınarak çözüme gidilir.

D. İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise,

E. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KURULUŞU

Kökleri x₁ ve x₂ olan II. dereceden denklem;

Kural

ax² + bx – c = 0 ...

denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olsun. m ¹ 0 olmak üzere, kökleri mx₁ + n ve mx₂ + n olan ikinci dereceden denklem denkleminde x yerine yazılarak elde edilir.

F. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax³ + bx² + cx + d = 0

denkleminin kökleri x₁, x₂ ve x₃ ise,

Kökleri x₁, x₂ ve x₃olan III. dereceden denklemin kökleri:

Aritmetik dizi oluşturuyorsa;

Geometrik dizi oluşturuyorsa;